Gọi AN’ cắt d tại K.

K thuộc đường trung trực của AB nên KA = KB.

Trong tam giác N’KB có: N’B < KN’ + KB (bất đẳng thức tam giác).

⇒ N’B < KN’ + KA (vì KA = KB) hay N’B < N’A.

a)

Ta có M nằm trên đường trung trực của AB nên MA=MB.

Vì M nằm trên đoạn NB nên:

    NB=NM+MB hay NB=NM+MA (vì MB=MA)

Vậy NB=NM+MA

Trong ΔNMA có: NA<NM+MA

Vì NM+MA=NB nên NA<NB (đpcm) 

b) 

Nối N′A cắt d tại P. Vì P nằm trên đường trung trực của đoạn AB nên: PA=PB

Ta có: N′A=N′P+PA=N′P+PB

Trong ΔN′PB ta có: N′B<N′P+PB

Do đó: N′B<N′A(đpcm)

c)

Vì LA<LB nên L không thuộc đường trung trực d.

Từ câu b) ta suy ra với điểm N′bất kì thuộc PB thì ta có N′B<N′A. Do đó, để LA<LB thì L không thuộc PB.

Từ câu a) ta suy ra với điểm N bất kì thuộc PA thì ta có NA<NB. Do đó, để LA<LB thì Lthuộc PA.

a. Gọi C là giao điểm của MB với đường thẳng d.

Ta có: MB=MC+CB

mà CA=CB(tính chất đường trung trực)

Suy ra: MB=MC+CA(1)

Trong ΔMAC ta có:

MA<MC+CA(bất đẳng thức tam giác)(2)

Từ (1) và (2) suy ra: MA<MB

b.Gọi D là giao điểm của NA với đường thẳng d.

Ta có: NA=ND+DA

mà DA=DB(tính chất đường trung trực)

Suy ra: NA=ND+DB(3)

Trong ΔNDB, ta có:

NB<ND+DB (bất đẳng thức tam giác) (4)

Từ (3) và (4) suy ra: NA>NB

c) Theo phần a và b; với điểm H bất kì ta có:

+ Nếu H nằm trong phần PA thì HA < HB.

+ Nếu H nằm trong phần PB thì HB < HA.

+ Nếu H nằm trên đường thẳng d thì HA = HB (tính chất đường trung trực)

Do đó, để KA < KB thì K nằm trong phần PA.

Nối NA, NB. Gọi D là giao điểm của NA với đường thẳng d, nối DB.

Ta có: NA = ND + DA

mà DA = DB (tính chất đường trung trực)

Suy ra: NA = ND + DB (3)

Trong ΔNDB, ta có:

NB < ND + DB (bất đẳng thức tam giác) (4)

Từ (3) và (4) suy ra: NA > NB

Nối MA, MB. Gọi C là giao điểm của MB với đường thẳng d, nối CA.

Ta có: MB = MC + CB

mà CA = CB (tính chất đường trung trực)

Suy ra: MB = MC + CA (1)

Trong ΔMAC ta có:

MA < MC + CA (bất đẳng thức tam giác) (2)

Từ (1) và (2) suy ra: MA < MB

Ta có:    B A M ^ = B ^    ( g t )     C A N ^ = C ^     ( g t )  

Þ AM // BC;   AN // BC  (vì có cặp góc so le trong bằng nhau).

Þ 3 điểm M, A, N thẳng hàng (vì qua điểm A chỉ vẽ được một đường thẳng song song với BC).

Vậy MN // BC mà d ⊥ B C  nên d ⊥ M N      (1)

Ta có: A M = A B ;   A N = A C  

mà AB = AC (gt) nên AM = AN.              (2)

Từ (1) và (2) Þ d là trung trực của MN

Theo phần a và b; với điểm H bất kì ta có:

+ Nếu H nằm trong phần PA thì HA < HB.

+ Nếu H nằm trong phần PB thì HB < HA.

+ Nếu H nằm trên đường thẳng d thì HA = HB (tính chất đường trung trực)

Do đó, để KA < KB thì K nằm trong phần PA.